在本篇以前,我们已经处理过一些会出现紫外发散的图,如:
电子自能
真空极化
顶点修正
我们发现,发散可以通过重整化的方式消去,最终得到的可观测量将是有限值。现在,我们将对出现在量子场论中的紫外发散进行分类,并建立消除这些发散的一般理论。我们将以 QED 和标量场论为例进行说明。
表观发散度
QED 的表观发散度
对于一个典型的 QED 费曼图来说,它是由一些基本元素构成的:电子线,光子线,顶点。我们有一些基本的感受:在处理一阶树图时,并没有出现发散;而在计算圈图时,出现了发散。这是不是意味这圈图更容易产生发散呢?为了更好的说明,我们对费曼图中每个元素进行计数,并进行一些定性分析。
我们定义:
N e N_e N e :外电子线 的数量
N γ N_\gamma N γ :外光子线 的数量
P e P_e P e :电子传播子 的数量
P γ P_\gamma P γ :光子传播子 的数量
V V V :顶点 的数量
L L L :圈 的数量
例如对于一个典型的 QED 费曼图来说
根据费曼规则,其值为:
∼ ∫ d 4 k 1 d 4 k 2 ⋯ d 4 k L ( k i − m ) ⋯ ( k j 2 ) ⋯ ( k n 2 ) \sim \int \frac{d^4k_1d^4k_2\cdots d^4k_L}{(\cancel{k}_i-m)\cdots (k_j^2) \cdots (k_n^2)}
∼ ∫ ( k i − m ) ⋯ ( k j 2 ) ⋯ ( k n 2 ) d 4 k 1 d 4 k 2 ⋯ d 4 k L
对于其中每一个圈,都需要对这个圈动量进行一次四维积分,相应的积分变量出现在分子上。光子、电子传播子会对分母有贡献。粗略地来看,我们可以用这个表达式的幂次来判定积分会不会发散。按照这种思路,我们可以定义 表观发散度 superficial degree of divergence :
D ≡ 4 L − P e − 2 P γ (1) D \equiv 4L - P_e - 2P_{\gamma}\tag{1}
D ≡ 4 L − P e − 2 P γ ( 1 )
我们粗略来看不同表观发散度时的发散行为,引入一个截断 Λ \Lambda Λ ,我们期望:
D > 0 D>0 D > 0 时,对应费曼图的发散行为: ∼ Λ D \sim \Lambda^D ∼ Λ D
D = 0 D = 0 D = 0 时,发散行为 ∼ log Λ \sim \log \Lambda ∼ log Λ
D < 0 D<0 D < 0 时,对应费曼图将为一个有限值。
当然这种 naive 的想法不总是对的,例如:
其表观发散度为 D = − 2 D = -2 D = − 2 ,其值却是发散的:∼ log Λ \sim\log\Lambda ∼ log Λ 。
这也是我们称 D D D 为表观发散度的原因。不过我们引出这个量还是有意义的,不妨继续看。
考虑圈的数目可以表示为:
L = P e + P γ − V + 1 (2) L = P_e + P_\gamma -V + 1\tag{2}
L = P e + P γ − V + 1 ( 2 )
而每个 QED 顶点或是与一个外光子线相连,或是与另一个顶点共享一个光子传播子,那么 QED 顶点的数目为:
V = N γ + 2 P γ (3) V = N_{\gamma} + 2P_{\gamma}\tag{3}
V = N γ + 2 P γ ( 3 )
当然若考虑顶点与电子线的关系,也可以得到:
V = 1 2 N e + P e (4) V = \frac{1}{2}N_{e} + P_{e}\tag{4}
V = 2 1 N e + P e ( 4 )
利用 ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) (2)(3)(4) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ,可以将表观发散度 ( 1 ) (1) ( 1 ) 写为:
D = 4 L − P e − 2 P γ = 4 ( P e + P γ − V + 1 ) − P e − 2 P γ = 3 P e + 2 P γ − 4 V + 4 = 3 P e + 2 P γ − ( N γ + 2 P γ ) − 3 ⋅ ( 1 2 N e + P e ) + 4 = 4 − N γ − 3 2 N e (5) \begin{aligned}
D &= 4L - P_e - 2P_{\gamma}\\
&=4(P_e + P_\gamma -V + 1) -P_e - 2P_{\gamma}\\
&=3P_e + 2P_{\gamma} -4V + 4\\
&=3P_e + 2P_{\gamma} - (N_{\gamma} + 2P_{\gamma}) - 3\cdot(\frac{1}{2}N_{e} + P_{e}) + 4\\
&=4-N_{\gamma} -\frac{3}{2}N_{e}\\
\end{aligned}\tag{5}
D = 4 L − P e − 2 P γ = 4 ( P e + P γ − V + 1 ) − P e − 2 P γ = 3 P e + 2 P γ − 4 V + 4 = 3 P e + 2 P γ − ( N γ + 2 P γ ) − 3 ⋅ ( 2 1 N e + P e ) + 4 = 4 − N γ − 2 3 N e ( 5 )
由 ( 5 ) (5) ( 5 ) 可得,只有少量形式的费曼图的表观发散度 D ⩾ 0 D\geqslant 0 D ⩾ 0 。考虑到 N e N_e N e 必定取偶数,不难全部列举出来:
N e = 0 , N γ = 0 , D = 4 N_e = 0, N_{\gamma} = 0,D = 4 N e = 0 , N γ = 0 , D = 4
Fig1
N e = 0 , N γ = 1 , D = 3 N_e = 0, N_{\gamma} = 1,D = 3 N e = 0 , N γ = 1 , D = 3
Fig2
N e = 0 , N γ = 2 , D = 2 N_e = 0, N_{\gamma} = 2,D = 2 N e = 0 , N γ = 2 , D = 2
Fig3
N e = 0 , N γ = 3 , D = 1 N_e = 0, N_{\gamma} = 3, D = 1 N e = 0 , N γ = 3 , D = 1
Fig4
N e = 0 , N γ = 4 , D = 0 N_e = 0, N_{\gamma} = 4, D = 0 N e = 0 , N γ = 4 , D = 0
Fig5
N e = 2 , N γ = 0 , D = 1 N_e = 2, N_{\gamma} = 0, D = 1 N e = 2 , N γ = 0 , D = 1
Fig6
N e = 2 , N γ = 1 , D = 0 N_e = 2, N_{\gamma} = 1, D = 0 N e = 2 , N γ = 1 , D = 0
Fig7
其中 1 1 1 为真空,不具有任何可观测量。
考虑到费曼图 2 2 2 中的外光子流必定与两个费米子耦合在一起,即为:
所以,费曼图 2 2 2 的值为:
− i e ∫ d 4 x e − i q ⋅ x ⟨ Ω ∣ T j μ ( x ) ∣ Ω ⟩ -ie\int d^4x e^{-iq\cdot x}\langle \Omega|Tj_{\mu}(x)|\Omega\rangle
− i e ∫ d 4 x e − i q ⋅ x ⟨ Ω ∣ T j μ ( x ) ∣ Ω ⟩
根据洛伦兹不变性,j μ j_{\mu} j μ 的真空期望值必定为零。
或者考虑 C C C 变换,由于 QED 具有 C C C 的对称性,那么有:
C ∣ Ω ⟩ = ∣ Ω ⟩ C j μ ( x ) C † = − j μ ( x ) C|\Omega\rangle = |\Omega\rangle \quad Cj^{\mu}(x)C^\dagger = -j^{\mu}(x)
C ∣ Ω ⟩ = ∣ Ω ⟩ C j μ ( x ) C † = − j μ ( x )
因此得到:
⟨ Ω ∣ T j μ ( x ) ∣ Ω ⟩ = − ⟨ Ω ∣ C † C T j μ ( x ) C † C ∣ Ω ⟩ = − ⟨ Ω ∣ T j μ ( x ) ∣ Ω ⟩ = 0 \begin{aligned}
\langle\Omega|Tj_{\mu}(x)|\Omega\rangle &= -\langle\Omega|C^{\dagger}CTj_{\mu}(x)C^{\dagger}C|\Omega\rangle\\
&= -\langle\Omega|Tj_{\mu}(x)|\Omega\rangle = 0
\end{aligned}
⟨ Ω ∣ T j μ ( x ) ∣ Ω ⟩ = − ⟨ Ω ∣ C † C T j μ ( x ) C † C ∣ Ω ⟩ = − ⟨ Ω ∣ T j μ ( x ) ∣ Ω ⟩ = 0
同理,下面的含有三个外光子线的图 4 4 4 必定会为零。
图 6 6 6 对应电子自能图。其值为:
i M ( p ) = A 0 + A 1 p + A 2 p 2 + ⋯ (6) iM(p) = A_0 + A_1\cancel{p} + A_2p^2 + \cdots \tag{6}
i M ( p ) = A 0 + A 1 p + A 2 p 2 + ⋯ ( 6 )
其中有:
A n = 1 n ! d n d p n ( i M ( p ) ) (7) A_n = \frac{1}{n!}\frac{d^n}{d\cancel{p}^n}(iM(p)) \tag{7}
A n = n ! 1 d p n d n ( i M ( p ) ) ( 7 )
其中 M ( p ) M(p) M ( p ) 对 p p p 的依赖,来自于传播子,我们有:
d d p ( 1 k + p − m ) = − 1 ( k + p − m ) 2 \frac{d}{d\cancel{p}}(\frac{1}{\cancel{k}+\cancel{p}-m}) = -\frac{1}{(\cancel{k}+\cancel{p}-m)^2}
d p d ( k + p − m 1 ) = − ( k + p − m ) 2 1
因此,每对 i M ( p ) iM(p) i M ( p ) 求一次关于 p \cancel{p} p 的偏导,其表观发散度将减一,因此我们期待 ( 6 ) (6) ( 6 ) 的形式为:
i M ( p ) = a 0 m log Λ + a 1 p log Λ + ( f i n i t e t e r m s ) (8) iM(p) = a_0m\log \Lambda + a_1\cancel{p}\log\Lambda + (finite\ terms) \tag{8}
i M ( p ) = a 0 m log Λ + a 1 p log Λ + ( f i n i t e t e r m s ) ( 8 )
图 7 7 7 对应顶点修正
其值为:
− i e γ μ log Λ + f i n i t e t e r m s (9) -ie\gamma^{\mu}\log\Lambda + finite\ terms \tag{9}
− i e γ μ log Λ + f i n i t e t e r m s ( 9 )
图 2 2 2 对应真空极化。其具有洛伦兹结构:
Π μ ν ( q ) = ( g μ ν q 2 − q μ q ν ) Π ( q 2 ) (10) \Pi^{\mu\nu}(q) = (g^{\mu\nu}q^2 - q^{\mu}q^{\nu})\Pi(q^2) \tag{10}
Π μ ν ( q ) = ( g μ ν q 2 − q μ q ν ) Π ( q 2 ) ( 1 0 )
考虑将 Π μ ν ( q ) \Pi^{\mu\nu}(q) Π μ ν ( q ) 展开为 q q q 的泰勒级数,则 Π ( q 2 ) \Pi(q^2) Π ( q 2 ) 的表观发散度减 2 2 2 ,因此 Π ( q 2 ) \Pi(q^2) Π ( q 2 ) 的常数项中可能会出现对数发散的项。
图 5 5 5 具有四个外光子,对应光子-光子散射振幅。根据 Ward 等式,将有:
k μ M μ ν ρ σ = 0 k_{\mu}\mathcal{M}^{\mu\nu\rho\sigma} = 0
k μ M μ ν ρ σ = 0
因此必定包含如下因子:
( g μ ν k σ − g μ σ k ν ) (g^{\mu\nu}k^{\sigma}-g^{\mu\sigma}k^{\nu})
( g μ ν k σ − g μ σ k ν )
同理对于每个外光子线,都有一个如此的因子。因此最后剩下的结构的表观发散度为 − 4 -4 − 4 ,会是一个有限项。
因此,我们总共得到,在 QED 中只会出现三处发散的振幅:电子自能图,真空极化,电子顶点修正。其他发散的振幅可以以这三种费曼图为基础构建出来。将这些发散的振幅展开为泰勒级数的形式,我们总共得到 4 4 4 个发散的系数,在之前,我们使用了场强重整化(对于光子自能图与电子自能图)、质量重整化(电子质量)、电荷重整化(QED耦合常数),将这些发散的系数吸收到四个重整化系数中去。在下一篇我们要讨论的重整化微扰论中,我们将会看到如何将这些发散的量吸收到拉格朗日量中的不可观测量中去,并进行有关的微扰论计算。
表观发散度的深入讨论
现在,我们再对表观发散度做一些更加深入的讨论。
考虑 d d d 维时空中的 QED,对应的表观发散度为:
D ≡ d L − P e − 2 P γ (11) D \equiv dL - P_e - 2P_{\gamma} \tag{11}
D ≡ d L − P e − 2 P γ ( 1 1 )
也可以表示为:
D = d + ( d − 4 2 ) V − ( d − 2 2 ) N γ − ( d − 1 2 ) N e (12) D = d + (\frac{d-4}{2})V - (\frac{d-2}{2})N_{\gamma} - (\frac{d-1}{2})N_e \tag{12}
D = d + ( 2 d − 4 ) V − ( 2 d − 2 ) N γ − ( 2 d − 1 ) N e ( 1 2 )
观察上述表达式中与 V V V 有关的项,当 d < 4 d<4 d < 4 时,含有更多顶点的图的表观发散度更低,因此发散图的数量是有限的。当 d > 4 d>4 d > 4 时,含有更多顶点的图的表观发散度更高,因此更高阶修正的图总是表观发散的。而真实的情况正对应 d = 4 d=4 d = 4 。
因此,我们根据出现在不同理论中费曼图的发散行为,我们将其分为:
超重整化理论 Super-Renormalizable theory
仅有有限数量的费曼图表观发散
可重整化理论 Renormalizable theory
仅有有限数量的费曼图表观发散;然而,发散可以发生在任何阶的微扰论上。
不可重整化理论 Non-Renormalizable theory
所有的振幅在充分高阶的微扰论中都会发散。
考虑一个在 d d d 维时空中的纯标量场理论,带有一个 ϕ n \phi^n ϕ n 的相互作用,拉氏量为:
L = 1 2 ( ∂ μ ϕ ) 2 − 1 2 m 2 ϕ 2 − λ n ! ϕ n \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{n!}\phi^n
L = 2 1 ( ∂ μ ϕ ) 2 − 2 1 m 2 ϕ 2 − n ! λ ϕ n
其中 ϕ n \phi^n ϕ n 项表示存 n n n 点相互作用。
得到圈的数量 L L L 为:
L = P − V + 1 L = P - V + 1
L = P − V + 1
考虑每个传播子 P P P ,外线 N N N ,与顶点的个数 V V V 之间有关系:
n V = N + 2 P nV = N + 2P
n V = N + 2 P
得到表观发散度为:
D = d L − 2 P = ( d − 2 ) P − d V + d = d − 2 2 ( n V − N ) − d V + d = d − [ d − n ( d − 2 2 ) ] V − ( d − 2 2 ) N (13) \begin{aligned}
D &= dL - 2P\\
&= (d-2)P - dV + d \\
&= \frac{d-2}{2}(nV-N) - dV + d \\
&= d - [d-n(\frac{d-2}{2})]V -(\frac{d-2}{2})N\\
\end{aligned} \tag{13}
D = d L − 2 P = ( d − 2 ) P − d V + d = 2 d − 2 ( n V − N ) − d V + d = d − [ d − n ( 2 d − 2 ) ] V − ( 2 d − 2 ) N ( 1 3 )
由此,可以得到:在四维时空中,ϕ 4 \phi^4 ϕ 4 理论是可重整化的,而含有更高幂次相互作用的理论是不可重整化的;在三维时空中,ϕ 6 \phi^6 ϕ 6 理论是可重整化的,ϕ 4 \phi^4 ϕ 4 理论是超重整化的;在二维时空中,任何 ϕ n \phi^n ϕ n 理论都是超重整化的。
我们再从另一个角度看这件事情。不妨进行一些量纲分析。在自然单位制中,作用量是一个无量纲量(既然要出现在指数上):
S = ∫ d d x L S = \int d^dx \mathcal{L}
S = ∫ d d x L
我们可以把所有物理量的单位都表示成 G e V \mathrm{GeV} G e V 的幂次的形式。其中:
[ d x ] = G e V − 1 [dx] = \mathrm{GeV}^{-1}
[ d x ] = G e V − 1
所以拉氏量的量纲为:
[ L ] = G e V d [\mathcal{L}] = \mathrm{GeV}^{d}
[ L ] = G e V d
考虑到拉氏量动能项的量纲为:
[ 1 2 ( ∂ μ ϕ ) 2 ] = G e V 2 ⋅ [ ϕ ] 2 = G e V d [\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi)^2] = \mathrm{GeV}^{2}\cdot [\phi]^2 = \mathrm{GeV}^{d}
[ 2 1 ( ∂ μ ϕ ) 2 ] = G e V 2 ⋅ [ ϕ ] 2 = G e V d
得到场量的量纲为:
[ ϕ ] = G e V d − 2 2 [\phi] = \mathrm{GeV}^{\frac{d-2}{2}}
[ ϕ ] = G e V 2 d − 2
耦合常数 λ \lambda λ 的量纲为:
[ λ ] = G e V d − n d − 2 2 [\lambda] = \mathrm{GeV}^{d - n\frac{d-2}{2}}
[ λ ] = G e V d − n 2 d − 2
现在考虑用一个有 N N N 条外线的 amputated 图,其中最简单的形式当然是:
该费曼图在 ϕ n \phi^n ϕ n 理论中是不存在的(除非 N = n N=n N = n )。其来自于 ϕ N \phi^N ϕ N 理论的 N N N -相互作用顶点。设其耦合常数为 η \eta η ,则其量纲为:
[ η ] = G e V d − N d − 2 2 [\eta] = \mathrm{GeV}^{d - N\frac{d-2}{2}}
[ η ] = G e V d − N 2 d − 2
则上述费曼图的量纲也就等同于 η \eta η 的量纲。一般来说,一个有 N N N 条外线的 amputated 图为:
它可以看作进行了一个顶点修正,不会改变量纲。
另一方面,在我们这个仅有相互作用为 λ ϕ n \lambda\phi^n λ ϕ n 的系统中,设有 V V V 个顶点,表观发散度为 D D D 。若引入一个动量 Λ \Lambda Λ ,该费曼图的发散行为如下:
∼ λ V Λ D \sim \lambda^V\Lambda^D
∼ λ V Λ D
利用量纲相等,我们将得到:
[ η ] = [ λ V Λ D ] [\eta] = [\lambda^V\Lambda^D]
[ η ] = [ λ V Λ D ]
即:
d − N ( d − 2 2 ) = [ d − n d − 2 2 ] V + D (14) d - N(\frac{d-2}{2}) = [d - n\frac{d-2}{2}]V + D \tag{14}
d − N ( 2 d − 2 ) = [ d − n 2 d − 2 ] V + D ( 1 4 )
这与 ( 13 ) (13) ( 1 3 ) 式给出的结果是一致的。不过量纲分析启发我们,在 ( 13 ) (13) ( 1 3 ) 式子中于 V V V 相乘的项不是别的,正是耦合常数 λ \lambda λ 的量纲指数。因此,我们可以根据耦合常数的量纲进行如下区分:
超重整化:耦合常数具有正指数的能量量纲
可重整化:耦合常数具有无量纲
不可重整化:耦合常数具负指数的能量量纲
例如,QED 理论中的耦合常数 e e e 是一个无量纲量,那么至少在表观发散度的意义上,QED 是可重整化的。