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本篇笔记引入了联络的概念，一个流形赋予了仿射联络之后成为仿射联络空间。有了联络之后，我们便可以谈论平行移动、测地线、和流形的弯曲程度等概念。我们介绍了协变微商与 Koszul 联络两种定义，并推广到一般的张量场上。

本篇介绍了对称性自发破缺的机制。介绍了 Goldstone 定理：每个破缺的对称性将产生一个无质量粒子。考虑对称性自发破缺的系统，我们进行了相关的重整化微扰论的讨论。

我们可以利用光滑流形上的切空间与余切空间构造该点的外代数结构，并且将推广到整个流形。我们可以在上定义李导数、微分、内乘等一些算子。

流形到自身的微分同胚称为一个变换，所有的变换构成一个微分同胚群。李氏变换群是微分同胚群中具有李群结构的子群。一类特殊的李氏变换群是单参数变换群。利用局部单参数变换群，我们引入了李导数。

上篇我们在流形上一点构造了切空间与余切空间，由此我们可以在一点构造张量。我们可以将该定义进行逐点推广，在流形上每一点指定张量，得到流形上的张量场。我们还介绍了矢量场的李代数。

本篇介绍了高阶重整化微扰论，根据 BPHZ 理论，无论是 local 发散还是 nonlocal 发散都能够通过 counterterm 消去。后面以 phi-4 理论为例，进行了两圈图的计算。

本篇在流形上利用其内禀性质自然地构造出了切矢量，某点的切矢量构成一个线性空间，称为切空间。切空间对偶的空间为余切空间，相应的元素为余切矢量。

本篇介绍了拓扑流形与微分流形的概念。有了微分结构，我们可以对流形间映射的可微性进行讨论。在拓扑群上引入与群运算相容的微分结构后，我们得到了李群。

本篇简单介绍了拓扑空间连续映射，同胚的概念。我们可以从一个拓扑在其子集上诱导出相对拓扑，在其卡氏积上诱导出乘积拓扑。最后介绍了拓扑结构可以和群结构，线性空间结构相容，得到拓扑群及拓扑矢量空间。

本篇笔记介绍了拓扑的概念：包括拓扑空间的定义，以及内点、外点、边界点的概念。最后对拓扑空间的可分性、紧致性、连通性进行了说明。