量子场论笔记（十二）：散射矩阵的计算

散射矩阵的计算

现在尝试用费曼图进行散射矩阵的计算。考虑散射过程：$\mathcal{A},\mathcal{B}\rightarrow 1,\cdots,n$

$\langle \bm{p}_1\cdots \bm{p}_n|S|\bm{p}_{\mathcal{A}}\bm{p}_{\mathcal{B}}\rangle = \langle \bm{p}_1\cdots \bm{p}_n|T\{\exp[-i\int_{-\infty}^{\infty}dtH_I(t)]\}|\bm{p}_{\mathcal{A}}\bm{p}_{\mathcal{B}}\rangle \tag{1}$

最简单情况，考虑末态仅有两粒子（考虑均为 Klein-Gordon 玻色子的情形，对于不同粒子、自旋不为零的情形，我们只需要引入更多的 $\delta$ 函数即可）。

$\langle \bm{p}_1\bm{p}_2|T\{\exp[-i\int_{-\infty}^{\infty}dtH_I(t)]\}|\bm{p}_{\mathcal{A}}\bm{p}_{\mathcal{B}}\rangle \tag{2}$

零阶项为：

$\begin{aligned} \langle \bm{p}_1\bm{p}_2|\bm{p}_{\mathcal{A}}\bm{p}_{\mathcal{B}}\rangle &= \sqrt{2E_12E_22E_{\mathcal{A}}2E_{\mathcal{B}}}\langle 0| \hat{a}_{\bm{p}_1}\hat{a}_{\bm{p}_2}\hat{a}^\dagger_{\bm{p}_{\mathcal{A}}}\hat{a}^\dagger_{\bm{p}_{\mathcal{B}}}|0\rangle \\ &= 2E_{\mathcal{A}}2E_{\mathcal{B}}(\delta^{(3)}(\bm{p}_{\mathcal{A}}-\bm{p}_1)\delta^{(3)}(\bm{p}_{\mathcal{B}}-\bm{p}_2) + \delta^{(3)}(\bm{p}_{\mathcal{A}}-\bm{p}_2)\delta^{(3)}(\bm{p}_{\mathcal{B}}-\bm{p}_1)) \end{aligned}$

其中的 $\delta$ 函数会使末态和初态相等。也就是之前得到散射矩阵的 $\delta(\alpha-\beta)$ 项。我们将散射矩阵写为：

$S = 1 + iT \tag{3}$

我们更关心相互作用的带来的影响，这体现在 $iT$ 上。

一阶项为：

$\langle \bm{p}_1\bm{p}_2|T\{-i\int dtH_I(t)\} |\bm{p}_{\mathcal{A}}\bm{p}_{\mathcal{B}}\rangle \tag{4}$

对于 $\phi^4$ 理论，有：

$\begin{aligned} &\langle \bm{p}_1\bm{p}_2|T\{-i\int d^4z \phi^4(z)\} |\bm{p}_{\mathcal{A}}\bm{p}_{\mathcal{B}}\rangle\\ =& \langle \bm{p}_1\bm{p}_2|N\{-i\int d^4z \phi^4(z) + contractions\} |\bm{p}_{\mathcal{A}}\bm{p}_{\mathcal{B}}\rangle\\ \end{aligned}\tag{5}$

第二步应用了 wick 定理，不同的是：现在并非是只有场量完全缩并的项才对散射矩阵有贡献。我们可以将零阶项的计算看做是初态与末态的缩并：

$\begin{aligned} \langle \bm{p}_1\bm{p}_2|\bm{p}_{\mathcal{A}}\bm{p}_{\mathcal{B}}\rangle = \langle \bm{p}^{\bullet}_1\bm{p}^{\star}_2|\bm{p}^{\bullet}_{\mathcal{A}}\bm{p}^{\star}_{\mathcal{B}}\rangle + \langle \bm{p}^{\bullet}_1\bm{p}^{\star}_2|\bm{p}^{\star}_{\mathcal{A}}\bm{p}^{\bullet}_{\mathcal{B}}\rangle \end{aligned}$

用费曼图表示为：

Fig1：散射矩阵零阶项

类似的，我们可以也可以考虑场量与初态/末态的缩并。通过计算：

$\begin{aligned} \phi^{+}_I(x)|\bm{p}\rangle &= \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\bm{k}}}} \hat{a}_{\bm{k}}e^{-ik\cdot x} \sqrt{2E_{\bm{p}}} \hat{a}_{\bm{p}}^\dagger |0\rangle\\ &= \int d^3k \frac{1}{\sqrt{2E_{\bm{k}}}} e^{-ik\cdot x} \sqrt{2E_{\bm{p}}} \delta(\bm{k}-\bm{p}) |0\rangle\\ &= e^{-ip\cdot x} |0\rangle\\ \end{aligned}\tag{6}$

同理，$\phi_{I}^-(x)$ 可以与入射态作用：

$\langle \bm{p}|\phi^{-}_I(x) = \langle 0|e^{ip\cdot x} \tag{7}$

那么我们定义场量与入射态/出射态的缩并为：

$\begin{aligned} \phi^{\bullet}_I(x)|\bm{p}^{\bullet}\rangle &= e^{-ip\cdot x} |0\rangle\\ \langle \bm{p}^{\bullet}|\phi^{\bullet}_I(x) &= \langle 0|e^{ip\cdot x}\\ \end{aligned}\tag{8}$

因此在 $(5)$ 式中：考虑到场量与初态\末态，初态与末态，场量之间的缩并这三种情况后，我们发现只有完全缩并的项才有贡献。

那么考虑到 $(5)$ 中场量之间的缩并共有三种类型：

$\phi\phi\phi\phi;\quad \phi^{\bullet}\phi^{\bullet}\phi\phi;\quad \phi^{\bullet}\phi^{\bullet}\phi^{\bullet\bullet}\phi^{\bullet\bullet};$

第三种类型：场量完全缩并，可以用如下费曼图表示：

Fig2：散射矩阵一阶项：类型3

它仍然保证初态等于末态，因此不对 $T$ 矩阵有贡献。

第二种类型：需要考虑场量与初态\末态之间的缩并。

我们给出场量与初态\末态之间的缩并的费曼图：

• $\phi_I^{\bullet}(x)|\bm{p}^{\bullet}\rangle$

Fig3：场量与末态缩并

• $\langle \bm{p}^\bullet|\phi_I^{\bullet}(x)$

Fig4：场量与初态缩并

初态/末态对应的元素为 外部线 external line。一般来说，我们通常规定费曼图从左到右为时间增加的方向，因此可以根据时间顺序区分初态/末态。

对应的费曼图为：

Fig5：散射矩阵一阶项：类型2

由于顶点保证四动量守恒，因此初态与末态也是一样的，这些图不对 $T$ 矩阵有贡献。

第一种类型：没有场量间的缩并，只有场量与初态/末态的缩并。

其费曼图为：

Fig6：散射矩阵一阶项：类型1

其值为：

$\begin{aligned} &(4!)\cdot(-i\frac{\lambda}{4!})\int d^4x e^{-i(p_{\mathcal{A}}+p_{\mathcal{B}}-p_1-p_2)\cdot x}\\ =& -i\lambda (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_{\mathcal{A}}+p_{\mathcal{B}}-p_1-p_2) \end{aligned}$

其中 $4!$ 因子是考虑了四条外部线可能的置换。

它对 $T$ 矩阵是有贡献的。

那么我们现在可以得到：只有那些 完全连通 fully connected （四个外部线彼此相连）的图才对 $T$ 矩阵有贡献。

现在我们要问，考虑到所有的高阶项之后，是否 $T$ 矩阵：

$\langle \bm{p}_1 \bm{p}_2|iT|\bm{p}_{\mathcal{A}}\bm{p}_{\mathcal{B}}\rangle$

等于那些 具有完全连通部分的费曼图的总和 ？

用费曼图表示为：

Fig：散射矩阵

我们根据图的特点将这些图分为三类，分别写到三行。第一类图有贡献是容易理解的。而根据对关联函数的讨论，第一第二类图的总贡献等价于乘以一个因子：

$\exp(\sum_{i} V_i)$

其中 $V_i$ 表示一个无外点连通部分的值。在关联函数的计算中：引入这个因子相当于对真空的能量进行一个整体的改变，但是最后会消去。现在在散射矩阵的计算中，我们也可以不考虑这个因子，因为这和我们研究的问题关系不大。

对于第三类图，我们不妨以其中一个图为例作以下计算：

其值为：

$\begin{aligned} &\frac{1}{2}\int \frac{d^4p'}{(2\pi)^4} \frac{i}{p'^2 - m^2} \int \frac{i}{k^2-m^2}\\ &\times(-i\lambda)(2\pi)^4\delta^{(4)}(p_\mathcal{A} + p' - p_1 -p_2)\\ &\times (-i\lambda)(2\pi)^4\delta^{(4)}(p_\mathcal{B} - p')\\ \end{aligned}$

利用第 $2$ 个 $\delta$ 函数对 $p'$ 积分后，得到：

$\frac{i}{p'^2-m^2}|_{p' = p_{\mathcal{B}}} = \frac{i}{p_{\mathcal{B}}^2 - m^2} = \frac{i}{0}$

这会导致发散！现在我们不能想象费曼图发散这件事情。更糟糕的，对于任意一个看起来很好的费曼图，例如：

我们都可以在上添加一个 bubble 使得它的性质变差。

我们称前一个图为 amputated diagram。一般的图可以表示为，通过 amputation，可以得到对应的 amputated diagram。

例如：

左图中的黑色 bubble 表示所有可能的连通费曼图。

那么如何解决无穷大的问题呢？

我们先想：对于一个费曼图：哪些量是可以被观测的，而那些并不是可观测量？

那些初态与末态是我们观测到的，而中间发生的过程我们其实并没有观测到。所有我们观测到的物理量：例如电荷、质量等，并没有出现无穷大的情况。而这些发散的图显然也对电荷、质量的测量有贡献，这必然说明在拉格朗日量中出现的电荷、质量、耦合常数等参数只能是 裸参数 bare parameters，并不对应测量得到的物理量。

如何确定这些裸参数？通过引入能量截断，可以使得那些本来发散的费曼图的值成为一个依赖于截断的量，我们再根据计算的精度，将需要考虑的费曼图进行求和，这也是依赖于截断的，再令此时的测量值正好等于真实的物理量，就能得到那些依赖于截断的裸参数。这就是 重整化 Renormalization 的方法。我们将在以后进行详细讨论。

那么现在，我们只要将裸参数换成对应的真实物理量，就只需要考虑那些 amputated diagram 的贡献了。

于是得到：

$\langle \bm{p}_1 \bm{p}_2|iT|\bm{p}_{\mathcal{A}}\bm{p}_{\mathcal{B}}\rangle = \sum \left\{ \begin{aligned} &fully\ connected\ \\ &amputated\ diagram\ \\ \end{aligned}\right\} \tag{9}$

费曼规则

根据以上的讨论，我们总结坐标空间的费曼规则：

• 传播子

值为：

$D_F(x-y)$

• 顶点

值为：

$(-i\lambda) \int d^4z$

• 外部线

值为：

$e^{-ip\cdot x}$

• 除以对称因子 $S$。

类似的，我们容易得到动量空间中的费曼规则：

• 传播子

值为：

$\frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon}$

• 顶点

值为：

$-i\lambda$

• 外部线

值为：

$1$

• 顶点保证四动量守恒。

• 对未确定的动量进行积分：

$\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}$

• 除以对称因子 $S$。