量子场论笔记（二十）：Ward-Takahashi 等式

Ward-Takahashi 等式

我们之前提到过 Ward 等式：若 $\mathcal{M}(k) = \epsilon_{\mu}(k)\mathcal{M}^{\mu}(k)$ 是某个包含一个动量为 $k$ 的外光子的 QED 过程的跃迁矩阵元，那么若用光子动量 $k$ 代替极化矢量 $\epsilon(k)$ ，将有以下等式成立：

$k_{\mu}\mathcal{M}^{\mu}(k) = 0 \tag{1}$

现在，我们将证明 Ward 等式的推广情形：Ward-Takahashi 等式。

任意考虑一个纯 QED 的费曼图（即只存在电磁相互作用，费曼图只由QED的基本元素：如光子传播子、电子传播子，QED顶点等构成），大概长下面这个样子：

设其值为 $\mathcal{M}_0$ 。现在往上再添加一个动量为 $k$ 的外光子，得到的费曼图为：

该费曼图对： $\mathcal{M}(k) = \epsilon_{\mu}(k)\mathcal{M}^{\mu}(k)$ 有贡献。当然，我们可以把这个外光子插入任何合理的位置上。另外通过单独考虑添加外光子后形成的顶点，通过 $\mathcal{M}_0$ 与费曼规则，也能够得到 $\mathcal{M}(k)$ 。以下简单说明：

为了从 $\mathcal{M}_0$ 得到 $\mathcal{M}(k)$ 只需要将原来的传播子做替换：

$\begin{aligned} \frac{i}{\cancel{p}-m}&\rightarrow k_{\mu}\cdot \frac{i}{\cancel{p}-m} (-ie\gamma^{\mu}) \frac{i}{\cancel{p} + \cancel{k}-m}\\ &= e \frac{i\cancel{k}}{(\cancel{p}-m)(\cancel{p} + \cancel{k}-m)}\\ &= e(\frac{i}{\cancel{p}-m}-\frac{i}{\cancel{p} + \cancel{k}-m}) \end{aligned}$

最后一行将对应两个费曼图，它们均可以用 $\mathcal{M}_0$ 表示（虽然可能依赖的动量取值不一样）。

Ward-Takahashi 的一个重要想法是：通过将所有有贡献的 $\mathcal{M}_0$ 相加，或是将外光子插在所有可能位置的费曼图相加，都可以得到 $\mathcal{M}(k)$ 。现在将 $\epsilon_{\mu}(k)$ 替换为 $k_{\mu}$ ，以上两种思路实际上为：

$\sum_{insertion\ points} (k_{\mu}\mathcal{M}^{\mu}(j)) = e\sum \mathcal{M}_0$

我们现在来具体说明这件事情的含义与相关证明。

对于一般的纯 QED 图，其费米子线只存在两种情形：

与外部相连，贯穿整个费曼图
形成费米子圈

对于这两种情况，我们分别进行考虑。

对于第一种情况：

我们现在考虑在所有可能的位置，例如第 $i$ 个光子与 $i+1$ 个光子之间插入一个外光子。

那考虑这个新的顶点对应的值为 $-i\gamma^{\mu}\epsilon_{\mu}(k)$ ，现在用 $k_{\mu}$ 替代 $\epsilon_{\mu}(k)$ ，那么有：

$-ie\cancel{k} = -ie[(\cancel{p}_i+\cancel{k}-m)-(\cancel{p}_i-m)]$

在两边乘上对应的电子传播子得到：

$\begin{aligned} \frac{i}{\cancel{p}_i+\cancel{k}-m}(-ie\cancel{k})\frac{i}{\cancel{p}_i-m} &= \frac{i}{\cancel{p}_i+\cancel{k}-m}(-ie[(\cancel{p}_i+\cancel{k}-m)-(\cancel{p}_i-m)])\frac{i}{\cancel{p}_i-m}\\ &= e(\frac{i}{\cancel{p}_i-m}-\frac{i}{\cancel{p}_i+\cancel{k}-m})\\ \end{aligned}$

因此，在第 $i$ 个光子和第 $i+1$ 个光子处插入外光子后，该费曼图具有如下结构：

$k_{\mu}\mathcal{M}^{\mu}_i(k) = \cdots(\frac{i}{\cancel{p}_{i+1}+\cancel{k}-m})\gamma^{\lambda_{i}+1}(\frac{i}{\cancel{p}_i-m}-\frac{i}{\cancel{p}_i+\cancel{k}-m})\gamma^{\lambda_i}(\frac{i}{\cancel{p}_{i-1}-m})\gamma^{\lambda_{i}-1}\cdots$

同理，在第 $i-1$ 个光子和第 $i$ 个光子处插入外光子后，该费曼图具有如下结构：

$k_{\mu}\mathcal{M}^{\mu}_{i-1}(k) = \cdots(\frac{i}{\cancel{p}_{i+1}+\cancel{k}-m})\gamma^{\lambda_{i}+1}(\frac{i}{\cancel{p}_{i}+\cancel{k}-m})\gamma^{\lambda_i} (\frac{i}{\cancel{p}_{i-1}-m}-\frac{i}{\cancel{p}_{i-1}+\cancel{k}-m})\gamma^{\lambda_i}\cdots$

将以上两个式子展开后相加，注意到：其中第一个式子中的第二项将于第二个式子中的第一项相消。现在我们在所有可能的位置插入外光子，并将所得的费曼图求和，根据以上分析，以下表达式的值为（这里我们将 $p'+k$ 重命名为 $q$ ）：

$\sum_i k_{\mu}\mathcal{M}^{\mu}_i(k) = e (\frac{i}{\cancel{p}-m})\cdots(\frac{i}{\cancel{q} - \cancel{k}-m}) - e (\frac{i}{\cancel{p} + \cancel{k}-m})\cdots(\frac{i}{\cancel{q}-m})$

可以用费曼图表示为：

根据 LSZ 约化公式，上式左边的费曼图有一个动量为 $p$ 的电子线进入，一个动量为 $k$ 的电子线出去。因此其值将包含如下因子：

$(\frac{i}{\cancel{p}-m})(\frac{i}{\cancel{q}-m})$

而右边两个费曼图各自只含有一个如上的极点，因此我们可以下论断：右边的费曼图必定对散射矩阵无贡献。

现在考虑费米子圈的情况：

我们在中间插入一个外光子：

其中，我们总使动量 $k$ 从新添加的顶点流入而从第一个顶点流出（既然是一个圈，这个流出点可以任意选取，不过我们需要使其保持一致），得到该费曼图的值为：

$-e\int\frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}\mathrm{tr}[(\frac{i}{\cancel{p}_n+\cancel{k}-m})\gamma^{\lambda_n}\cdots(\frac{i}{\cancel{p}_i-m}-\frac{i}{\cancel{p}_i+\cancel{k}-m})\gamma^{\lambda_i}\cdots (\frac{i}{\cancel{p}_1-m})\gamma^{\lambda_1}]$

我们在所有可能的位置插入外光子，并将所得的费曼图求和，得到：

$-e\int\frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}\mathrm{tr}[(\frac{i}{\cancel{p}_n-m})\gamma^{\lambda_n}\cdots(\frac{i}{\cancel{p}_1-m})\gamma^{\lambda_1} - (\frac{i}{\cancel{p}_n + \cancel{k}-m})\gamma^{\lambda_n}\cdots(\frac{i}{\cancel{p}_1 + \cancel{k}-m})\gamma^{\lambda_1}]$

我们现在将以上两种情况组合起来，给出 Ward-Takahashi 等式的表述。考虑一个具有 $n$ 个费米子线进入， $n$ 个费米子线出去的费曼图，可以包含任意个费米子圈：

该费曼图的值设为：

$\mathcal{M}_0(p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n)$

现在插入一个外光子后的费曼图

其值为：

$\mathcal{M}(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n)$

那么 Ward-Takahashi 等式 写为：

$k_{\mu}\mathcal{M}^{\mu}(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n) = e\sum_{i}[\mathcal{M}_0(p_1\cdots p_n;q_1\cdots (q_i-k)\cdots)-\mathcal{M}_0(p_1\cdots (p_i+k)\cdots;q_1\cdots q_n)]$