Klein-Gordon 方程
Klein-Gordon 方程是相对论量子力学中最基本的方程之一。现在我们遵循“一次量子化程式”,从相对论质能关系出发,对 Klein-Gordon 方程给出形式的推导:
注意在量子场论中,我们一般采用自然单位制,即 ℏ=c=1
相对论质能关系为
E2=m2+p2(1)
将物理量使用算子代替,并且在坐标表象中有:
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧E→E^=i∂t∂m→m^=mp→p^=−i∇(2)
即将 c-number (classcial number) 用对应的 q-number (quantum number) 代替,即一次量子化。
得到 Klein-Gordon 方程为:
−∂t2∂2ϕ=(m2−∇2)ϕ
利用四导数 ∂μ 写为:
(∂μ∂μ+m2)ϕ=0(3)
四导数定义为:
∂μ∂μ=(∂0,∂1,∂2,∂3)=(∂0,−∂1,−∂2,−∂3)
虽然在相对论量子力学中,Klein-Gordon 方程存在很多问题:如负能解与负几率,它并不是一个自洽的方程。但之后我们将会看到,在场论中,Klein-Gordon 方程可以用来描述自旋为零的玻色子场。Klein-Gordon 方程所对应的拉格朗日量为:
L=21∂μϕ∂μϕ−21m2ϕ2(4)
Klein-Gordon 场的量子化
满足 Klein-Gordon 方程 的 实值场 ϕ(x,t) 称为 Klein-Gordon 场。为了将 Klein-Gordon 场量子化,我们首先回顾对经典谐振子进行量子化的方法。
普朗克振子
经典谐振子的哈密顿量具有以下形式:
H=2mp2+21mω2x2(5)
将 c-number 替换为 q-number,并根据对易关系进行一次量子化:
H^=2mp^2+21mω2x^2,[x^,p^]=i(6)
我们将量子化后的简谐振子称为 普朗克振子 Planck oscillator。引入 阶梯算子 ladder operator:
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a^=2mωp^−i2mωx^a^†=2mωp^+i2mωx^(7)
a^ 称为 湮灭算子 annihilation operator,a^† 称为 产生算子 creation operator。我们将在本篇末理解此处命名的含义。
狄拉克引入阶梯算子,是基于以下考虑:对于 c-number 组成的哈密顿量,我们可以进行因式分解:
H=2mp2−(−21mω2x2)=(2mp)2−(−i2mωx)2=ω(ω1)2(2mp−i2mωx)(2mp+i2mωx)=ω(2mωp−i2mωx)(2mωp+i2mωx)
然后将坐标算子和动量算子进行线性组合成阶梯算子。
利用 (7) 式将坐标算子与动量算子使用阶梯算子表示:
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x^=2mω1(a^+a^†)p^=−i2mω(a^−a^†)(8)
那么对易关系成为:
i=[x^,p^]=−2i[a^+a^†,a^−a^†]=i[a^,a^†]⇔[a^,a^†]=1(9)
这里实际上说明,对易关系 [x^,p^]=i 与 [a^,a^†]=1 是等价的,这提示我们,第二式也能作为量子化的出发点。
使用阶梯算子将哈密顿量写为:
H^=−4ω(a^−a^†)2+4ω(a^+a^†)2=2ω(a^a^†+a^†a^)=ω(a^†a^+21[a^,a^†])=ω(a^†a^+21)(10)
我们现在来求解普朗克振子的本征值问题。
首先来看 n^≡a^†a^,它是厄密算子,其本征值为实数。其与阶梯算子的对易关系容易计算:
[n^,a^]=−a^[n^,a^†]=a^†(11)
假定 ∣λ⟩ 为 n^ 的本征值为 λ 的本征态,即:
n^∣λ⟩=λ∣λ⟩
可以得到:
n^a^†∣λ⟩n^a^∣λ⟩=(a^†n^+[n^,a†])∣λ⟩=(λ+1)a^†∣λ⟩=(a^n^+[n^,a])∣λ⟩=(λ−1)a^∣λ⟩(12)
因此 a†∣λ⟩ 为 n^ 的本征值为 λ+1 的本征态,a∣λ⟩ 为 n^ 的本征值为 λ−1 的本征态,有:
a†∣λ⟩=c+,λ∣λ+1⟩,a∣λ⟩=c−,λ∣λ−1⟩
计算因子 c±,λ:
⟨λ∣a^a^†∣λ⟩=⟨λ∣c+,λ∗c+,λ∣λ⟩=∣c+,λ∣2⟨λ∣a^a^†∣λ⟩=⟨λ∣n^∣λ⟩=λ
此处可以得到本征值 λ⩾0,可以取:
c+,λ=λ
同理有:
c−,λ=λ−1
由于本征值大于等于零,而每次 a^ 作用到 ∣λ⟩ 上得到本征值减一的本征态。那么可以得到 λ 应当只能取非负整数,我们于是将本征态为 ∣n⟩。且有:
a^∣0⟩=0
∣0⟩ 称为 基态 或 真空态。
综上,我们得到任意本征态:
∣n⟩=n−11a†∣n−1⟩=(n−1)!1(a†)n∣0⟩
Klein-Gordon 场的量子化
Klein-Gordon 场 ϕ(x,t) 满足方程:
−∂t2∂2ϕ(x,t)=(m2−∇2)ϕ(x,t)(13)
此处特别标注 ϕ 的自变量为 x,表示其在坐标空间内取值。本质上说我们是在坐标表象下写出方程 (13),而 ϕ(x,t)=⟨x∣ϕ(t)⟩。
ϕ 为实值场要求:
ϕ(x,t)=ϕ∗(x,t)(14)
现在我们期望在动量表象中重写 Klein-Gordon 方程,首先波函数可以写为:
ϕ(x,t)=⟨x∣ϕ(t)⟩=∫(2π)3d3p⟨x∣p⟩⟨p∣ϕ(t)⟩=∫(2π)3d3peip⋅xϕ(p,t)(15)
其中 ϕ(p,t) 就是动量表象下的波函数。式 (15) 在形式上看就是一个傅里叶变换。此处 ϕ(x,t) 为实值场等价要求:
ϕ∗(p,t)=ϕ(−p,t)(16)
ϕ∗(x,t)ϕ(x,t)⇒=∫(2π)3d3pe−ip⋅xϕ∗(p,t)=∫(2π)3d3peip⋅xϕ∗(−p,t)=∫(2π)3d3peip⋅xϕ(p,t)ϕ∗(p,t)=ϕ(−p,t)
将 (15) 式代入 (13),由此动量表象中的 Klein-Gordon 方程成为:
[∂t2∂2+(∣p∣2+m2)]ϕ(p,t)=0(17)
上述方程与一个频率为 ωp=∣p∣2+m2 的简谐振子的振动方程形式一样。对应的哈密顿量为:
Hp=21π2(p,t)+21ωp2ϕ2(p,t),π=∂t∂ϕ(18)
回忆我们处理简谐振子进行量子化的方法,通过引入阶梯算子,我们可以很轻松的计算谐振子的本征态与能级。现在,我们也想对上述问题应用相同的技巧。不过我们现在有一点疑问需要说明:我们明确我们所讨论问题的 绘景 picture。我们现在一直在 薛定谔绘景 Schrödinger picture 讨论问题:即认为算子不变,而波函数进行演化。在对简谐振子量子化的式 (6) 中,我们将物理量直接用算子代替。而在 (17) 式中,物理量 π,ϕ 却是一个随时间演化的量!在这里,我们的做法是:只在一个固定的时刻论问题,因此 π,ϕ 只是一个取值在特定时间的物理量。也就是说,现在我们已经能在固定时间对 (17) 进行量子化了,下一篇我们能看到,如果要给出场的演化信息,必须要换到 海森堡绘景 Heisenberg 中进行讨论。
类比 (8) 式,引入阶梯算子:
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ϕ^(p)π^(p)=2ωp1(a^p+a^−p†)=−i2ωp(a^p−a^−p†)(19)
注意为了保证 ϕ(x,t) 为实值场,条件 (16) 需要满足,因此我们为阶梯算子标上不同的下标。
坐标表象中的场量和动量可以表示为:
ϕ^(x)π^(x)=∫(2π)3d3p2ωp1(a^p+a^−p†)eip⋅x=∫(2π)3d3p2ωp1(a^peip⋅x+a^p†e−ip⋅x)=∫(2π)3d3p(−i)2ωp(a^p−a^−p†)eip⋅x=∫(2π)3d3p(−i)2ωp(a^peip⋅x−a^p†e−ip⋅x)(20)
上式子中的含有 eip⋅x 与 e−ip⋅x 的项称为 正频项 positive frequency 与 负频项 negative frequency。
现在我们需要引入对易关系,作为对 Klein-Gordon 场量子化的出发点。根据 (9) 式,我们给定阶梯算子的对易关系作为量子化条件
首先我们有基本的观察:
-
[a^p,a^q]=[a^p†,a^q†]=0
-
[a^p,a^q†]=0,∀ p=q
只有形如 [ap,ap†] 的项才不为零。这提示我们可以采用下式作为量子化条件:
[a^p,a^q†]=(2π)3δ(3)(p−q)(21)
利用 (19) 可得:
[ϕ^(p),π^(q)]=−i4ωpωq[a^p+a^−p†,a^q−a^−q†]=−i4ωpωq(−[a^p,a^−q†]+[a^−p†,a^q])=(2π)3iδ(3)(p+q)(22)
由此:
[ϕ^(x),π^(y)]=∫(2π)6d3pd3qei(p⋅x+q⋅y)[ϕ^(p),π^(q)]=∫(2π)6d3pd3qei(p⋅x+q⋅y)(2π)3iδ(3)(p+q)=i∫(2π)3d3peip⋅(x−y)=iδ(3)(x−y)(23)
这正是对易关系 [x^,p^]=i 在场论中的推广!到这里,我们已经完成了对 Klein-Gordon 场进行量子化的过程。
哈密顿量、动量的对角化
现在我们希望用阶梯算子去表示体系的哈密顿量与动量,这称为算子的 对角化 过程。
我们先对哈密顿量进行对角化。Klein-Gordon 场的哈密顿量为:
H(x)=21π2+21(∇ϕ)2+21m2ϕ2(24)
得到:
H^=∫d3xH^=∫d3x[21π^2+21(∇ϕ^)2+21m2ϕ^2]=∫d3x∫(2π)6d3pd3qei(p+q)⋅x{−4ωpωq(a^p−a^−p†)(a^q−a^−q†)+4ωpωq−p⋅q+m2(a^p+a^−p†)(a^q+a^−q†)}=∫(2π)3d3pd3qδ(3)(p+q)ei(p+q)⋅x{−4ωpωq(a^p−a^−p†)(a^q−a^−q†)+4ωpωq−p⋅q+m2(a^p+a^−p†)(a^q+a^−q†)}=∫(2π)3d3p{−2ωp(a^p−a^−p†)(a^q−a^−q†)+2ωp(a^p+a^−p†)(a^q+a^−q†)}=∫(2π)3d3p2ωp(a^pa^p†+a^−p†a^−p)=∫(2π)3d3p2ωp(a^pa^p†+a^p†a^p)=∫(2π)3d3pωp(a^p†a^p+21[a^p,a^p†])
上式第二项正比于 δ(0),是一个无限大的常量,它是所有振动模式零点能的总和。由于实验中只能观测到能量的变化(相对于基态而言),因此我们实际上可以忽略这一项。那么哈密顿量为:
H^=∫(2π)3d3pωpa^p†a^p(25)
另外,容易给出哈密顿量与阶梯算子的对易关系:
[H^,a^p†]=ωpa^p†[H^,a^p]=−ωpa^p(26)
由此,我们同样用 ∣0⟩ 表示 基态(真空态)。满足:
a^p∣0⟩=0,∀ p(27)
那么真空态的能量为零。那么态 a^p†∣0⟩ 的能量为:
H^a^p†∣0⟩=(a^p†H^+[H^,a^p†])∣0⟩=ωpa^p†∣0⟩
那么态 a^p†∣0⟩ 的能量为 ωp。我们得到:将产生算子 a^p† 作用于真空态将得到其他能量本征值的态,例如:
a^p†a^q†∣0⟩
表示能量为 ωp+ωq 的态。
在介绍能量-动量张量时,我们给出了场的物理动量:
P=−∫d3xπ(x)∇ϕ(x)(28)
同样的方法,可以对动量对角化:
P^=−∫d3xπ^(x)∇ϕ^(x)=−∫d3x∫(2π)6d3pd3q(−i4ωqωp)ei(p+q)⋅xiq(a^p−a^−p†)(a^q+a^−q†)=−∫(2π)3d3pd3qδ(3)(p+q)(−i4ωqωp)iq(a^p−a^−p†)(a^q+a^−q†)=∫(2π)3d3p21p(a^p−a^−p†)(a^−p+a^p†)=∫(2π)3d3p21p(a^pa^−p−a^−p†a^−p+a^pa^p†−a^−p†a^p†)(29)
考虑到:
∫(2π)3d3ppa^pa^−p=−∫(2π)3d3ppa^−pa^p=−∫(2π)3d3ppa^pa^−p
所以:
∫(2π)3d3ppa^pa^−p=0
于是 (29) 式称为:
P^=∫(2π)3d3p21p(−a^−p†a^−p+a^pa^p†)=∫(2π)3d3p21p(a^p†a^p+a^pa^p†)=∫(2π)3d3pp(a^p†a^p+21[a^p,a^p†])
其中第二项表示真空的动量,这一项是无法被观测的,去掉这一项后我们得到:
P^=∫(2π)3d3ppa^p†a^p
容易得到下列对易关系:
[P^,a^p†]=pa^p†[P^,a^p]=−pa^p(26)
同理,将产生算子 a^p† 作用于真空态 ∣0⟩,得到的态 a^p†∣0⟩ 对应的动量为 p。
于是我们进行以下总结:将产生算子 a^p† 作用于真空态 ∣0⟩ 会得到能量为 ωp、动量为 p 的态 a^p†∣0⟩。我们将其看作 a^p† 激发出了一个具有相应能量、动量的 粒子。将湮灭算子 a^p† 作用于真空态 ∣0⟩ 进行作用会使能量下降 ωp、动量减少 p,我们可以看作 a^p 湮灭了一个对应粒子。
考虑到 ap†,aq† 是对易的,由此 ap†aq†∣0⟩ 与 aq†ap†∣0⟩ 表示同一个两粒子态;并且一个模式 p 上可以占据任意多个粒子。由此可以得到 Klein-Gordon 场的粒子服从 玻色-爱因斯坦统计。对应描述的粒子为 玻色子 boson。
单粒子态
现在我们考虑表示一个粒子的 单粒子态。对于真空态,我们有 ⟨0∣0⟩=1。考虑一个含有动量为 p 的粒子的单粒子态 ∣p⟩,有:
∣p⟩∝a^p†∣0⟩
如果定义 ∣p⟩=a^p†∣0⟩,我们得到:
⟨q∣p⟩=⟨0∣aqap†∣0⟩=⟨0∣[aq,ap†]∣0⟩=(2π)3δ(3)(p−q)
但是这是不合适的,因为上述条件并不是洛伦兹不变的。
洛伦兹不变:即在洛伦兹变换下不发生变化。我们之后将仔细讨论。
我们建议取:
∣p⟩=2Epap†∣0⟩(27)
如此给出的归一化条件将是洛伦兹不变的:
⟨q∣p⟩=(2π)32Epδ(3)(p−q)
证明:我们可以考虑一个特定的洛伦兹变换,首先 rotation 是显然保证上式的不变性的。下面考虑 boost,例如对 p3 的 boost:
p3′=γ(p3+βE)E′=γ(E+βp3)
可得:
E′δ(3)(p′−q′)=E′δ(p1−q1)δ(p2−q2)δ(p3′−q3′)=E′δ(p1−q1)δ(p2−q2)δ(p3′−q3′)=E′δ(p1−q1)δ(p2−q2)δ(p3−q3)(dp3dp3′)−1=E′δ(3)(p−q)(γ(1+βdp3dE))−1=E′δ(3)(p−q)(γ(1+βEp3))−1=Eδ(3)(p−q)
上述推导中利用以下公式:
δ(f(x)−f(x0))=∣f′(x0)∣1δ(x−x0)E2=p2+m2⇒2EdE=2pdp
考虑对波函数的洛伦兹变换 Λ,这等价于用一个幺正算子作用于波函数。首先真空是洛伦兹不变的:
U(Λ)∣0⟩=∣0⟩
对于单粒子态有:
U(Λ)∣p⟩=∣Λp⟩
由此可得:
U(Λ)∣p⟩=U(Λ)2Epap†∣0⟩=2EpU(Λ)ap†U−1(Λ)∣0⟩∣Λp⟩=2EΛpaΛp†∣0⟩
得到产生算子在洛伦兹变化下的形式:
U(Λ)ap†U−1(Λ)=EpEΛpaΛp†(28)
所有单粒子态构成一组正交完备基,这就是 完备性关系:
(1)one−particle=∫(2π)3d3p∣p⟩2Ep1⟨p∣(29)
可以得到完备性关系是洛伦兹不变的。具体来说,只要注意到以下积分是洛伦兹不变的:
∫(2π)3d3p2Ep1=∫(2π)3d4p2πδ(p2−m2)∣p0>0
另外我们使用 ϕ(x) 作用于 ∣0⟩ 也会得到一个单粒子态:
ϕ(x)∣0⟩=∫(2π)3d3p2ωp1(apeip⋅x+ap†e−ip⋅x)∣0⟩=∫(2π)3d3p2ωp1ap†e−ip⋅x∣0⟩=∫(2π)3d3p2Ep1e−ip⋅x∣p⟩
这是一些具有确定动量的单粒子态的叠加。我们解释为:ϕ(x) 作用于 ∣0⟩ 在的效果相当于在位置 x 产生了一个粒子。
我们作如下验证:
⟨0∣ϕ(x)∣p⟩=∫(2π)3d3p2Eq1eiq⋅x⟨q∣p⟩=eip⋅x
我们发现其结果正为平面波,即可以认为:
ϕ(x)∣0⟩∼∣x⟩